1) Tenho que produzir X maças
2) Perda de maças é a razão p de perda vezes o total de maças X
3) Perda de maças é p*X
4) Portanto, temos que produzir X + p*X para entregar X no final, certo ?
5) Não é bem assim, pois a taxa de perda p tem que ser aplicado ao novo grupo produzido p*X e assim por diante.
6) Temos então:
PF: Produção Fractal
PF = X + p*X +(p^2)*X + ... + (p^n)*X
Note que no fim da sequência, idealmente somente 1 elemento será produzido, por isso, podemos fazer uma aproximação:
ai: termo da sequência fractal
an = a1*(q^(n-1))*X
01 = 01*(q^(n-1))*X
q^(n-1) = 1/x
q^n = q/x [Equação 1]
Ajeitando o PF num formato mais agradável:
Lembra da soma de PG ?
PF = (1 + p + p^2 + ... + p^n) * X
PF = ( 1*( ((q^n)-1)/(q-1) ) * X [Equação 2]
Substituindo [Equação 1] em [Equação 2]
PF = (p - X) / (p - 1)
Definições:
X: Entrega
p: Taxa de perda
PF: Produção Fractal, no gráfico será "Produção i"
Podemos fazer uma pequena análise utilizando uma tabela e um gráfico:
Concluí-se que:
1) O crescimento da Produção Fractal por taxa de perda não é linear;
2) Para uma taxa de perda constante existe um crescimento quase linear entre as produções fractais referentes as respectivas entregas.
Pergunta do Ricardo: Poderia dar mais detalhes ?
Resposta:
É assim, imagine um sistema caótico, que não é viciado em grupos, bordas ou arestas, como uma plantação que pode ser infinitamente grande, bom, imagine que larvas da mosca da fruta se distribuem homogeneamente nessa plantação, porque a mosca voa por toda a plantação, legal, esse é um sistema sem bordas, livre de vícios.
Você é dono de uma circunferência nesse sistema sem bordas, tem arame farpado fazendo um circulo e vc é o único com a chave do portão.
Vamos dizer que você produz exatamente 150 maças e que 150 maças é o que tá encomendado para você entregar no supermercado, por causa das moscas, a taxa de perda de maças é de 20% (0,2), logo, você perdeu 30 maças da encomenda e restaram apenas 120.
Bom, você precisa aumentar sua produção devido a taxa de perda, ora bolas, vamos produzir mais 30, para compensar a perda!
Assim, você planta mais pés de maças e passa a produzir 180 maças, bom, nesse pequeno conjunto novo de 30, você vai perder 20% das maças de novo (6 maças), então na verdade, você vai produzir a mais só 24 maças, só que você precisa de 30 para compensar a perda anterior, por isso, você soma essas 6 maças a produção total de 180, o que dá 186, bom acontece nessas 6 novas maças que você vai plantar, você vai perder 20% de novo, que é arrendondando para cima é 2 maças, portanto, você vai produzir 188 maças, a e arredondando 20% de 2 maças você vai ter 1 maça, logo, com uma produção de 189 maças, você consegue com certeza entregar 150 maças para o supermercado.
Se você olhar na tabela no blog, você verá:
Entrega = 150,
taxa de perda = 0,2
Produção 1 = 188
Na minha fórmula eu sempre aproximo o último termo para 1 maça. Note que deu uma diferença de 1 maça calculando na prática.Pela fórmula é 188 e pela prática é 189.
Mas veja bem 20% de 6 é 1,2 (vou estar produzindo 0,8 a mais de maça) e 20% de 2 maças é 0,4,
Note que 0,4 é menor e é coberto por 0,8 maça, portanto, a resposta correta é 188.
Produção Fractal = (p - X) / (p - 1)
PF = (0,2-150) / (0,2-1)
PF = 149,8 / 0,8
PF = 187,25
Já que não existe 0,75 maçã, PF = 188 maças.
Um problema semelhante é o de controle de natalidade, tipo, duas pessoas (1 casal) estatisticamente tem que gerar 2 filhos para manter a população humana em sistema conservativo (eles podem até expandir a idade média de vida do ser humano para uns 120 anos, mas depois disso, se atingirá um equilibrio, não vai ter neguinho vivendo mais do que 120 anos).
Voltando ao assunto, num sistema cuja a taxa de natalidade é 2 filhos, vai ter gente que não vai ter filhos por n causas desconhecidas, vai ter gente que vai poder ter somente 1 filho por n causas desconhecidas, bom, o sistema vai ter que compensar deixando alguns casais terem mais filhos e para isso, esses casais terão que pagar mais imposto.
Você pode pensar que para esses casais que vão ter mais do que 2 filhos, as n causas desconhecidas vão ocorrer também, como por exemplo, desemprego, morte de uma das pessoas do casal, morte da mãe da esposa que iria cuidar das crianças, mulher passou da idade fértil, bom, você calcula uma taxa média aproximada de perda de produção e aplica uma Produção Fractal numa faixa de casais férteis e está pronto o Equilíbrio Fractal.
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